Budris piedzima Kēnigsbergā, taču viņa ģimene sevi uzskatīja vairāk par lietuviešiem nevis vāciešiem. Kad Aļģim palika 5 gadi, viņa tēvs Jonas Budris dodas uz Ņujorku, strādāt par Lietuvas konsulu. Viņš šo amatu saglabā arī 2. pasaules kara laikā un pēc kara. Līdz ar to arī topošais rakstnieks paliek dzīvot ASV. Viņš studē Maiami Universitātē un pēc tam Kolumbijas Universitātē Ņujorkā. Savu pirmo zinātniski-fantastisko stāstu "The High Purpose" viņš publicē "Astounding Science Fiction" 1952. gadā. Vēlāk viņš darbojas kā redaktors un menedžeris, dažus savus stāstus viņš paraksta angliskojot savu vārdu - John A. Sentry. Viņa pseidonīmi ir arī: Frank Mason, Alger Rome, William Scarff, Paul Janvier un citi.
Budra 1960. gada garstāsts "Rogue Moon" tika nominēts "Hugo Award" un vēlāk iekļauts krājumā "The Science Fiction Hall of Fame, Volume Two" (1973). Viņa aukstā kara zinātniski-fantastiskais romāns "Who?", 1974. gadā pēc tā uzņem filmu. Bez vairākām "Hugo Award" un "Nebula Award" nominācijām Budris iegūst the Science Fiction Research Association's kritiķa "Pilgrim Award" 2007. gadā.
Autora galvenie darbi ir: «Viltus nakts» (1954), «Kas?» (1958), «Krītošā lāpa» (1959), «Niknais Mēness» (1960), «Dzelzs dzelksnis» (1967), «Maiklmass» (1977), «Cietā nosēšanās» (1993) un «Pagrieziena punkti» (1985) — kritisku rakstu un recenziju krājums.